Gegenseitige Lage und Durchschnitt dreier Ebenen

Gegeben sind die folgenden drei Ebenen, deren gegenseitige Lage und Durchschnitt zu ermitteln ist.
E1:     x  -  8y  - 14z = 3
E2:   2x  -  6y  -   3z = 1
E3:  -3x +  4y  -   8z = 1

Die erste und einfachste Möglichkeit ist, dass alle drei (oder zumindest zwei) Ebenen zu einander parallel sind (das heißt, ihre Normalvektoren sind parallel). Dies ist offensichtlich hier nicht gegeben.

Als nächstes prüfen wir den Schnitt der Ebenen E1 und E2. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem  in 2 Gleichungen und 3 Variablen. Die 2 Gleichungen besitzen 3 Variablen, eine kann frei gewählt werden (z.B. x=t)

(1)    t  -  8y  - 14z = 3
(2)  2t  -  6y  -   3z = 1

Damiz eine Variable bei der Addition wegfällt werden folgende Umformungen vorgenommen.

1,5t - 12y - 21z = 4,5
-14t + 42y + 21z = -7

Addition ergibt: -12,5t + 30y = -2,5
Daraus folgt 30y = -2,5 + 12,5t
und weiter y = (-2,5 + 12,5t) / 30.
Dies setzten wir nun in eine der obigen Gleichungen ein.

-14t + 42 * (-2,5 + 12,5t) / 30 + 21z = -7

Daraus folgt dann 21z = -7 +14t  - 42 * (-2,5 + 12,5t) / 30
21z = (-7 + 14t - 105 - 525t ) / 30
21z = (-112 - 511t) / 30
z = (-112 - 511t) / 630

Wir wissen nun
x = t
y = (-2,5 + 12,5t) / 30
z = (-112 - 511t) / 630

Aus diesen Werten bilden wir nun die Schnittgerade.

g : X = (0 | -0,083 | -0,178 ) + t. (1 | 0,42 | 0,81)


Wir kennen nun die Schnittgerade der ersten beiden Ebenen.

Nun bleibt nur mehr eine beschränkte Anzahl an Fällen über.

Entweder, die dritte Gerade schneidet die anderen beiden in einem Punkt, der dann auch auf der Schnittgeraden der ersten beiden in einem Punkt (Schnitt von Gerade und Ebene) oder es gibt eine gemeinsame Schnittgerade.

Für genauere Informationen:
http://www.mevis-research.de/~albers/Veranstaltungen/DidaLinAlg06/Material/ReferaLagebeziehung.ppt
http://www.learnable.net/freeload/mathe/M308.pdf

Hinweise:       In den Dokumenten wird der Ausdruck linear abhängig verwendet. In diesem Zusammenhang kann dieser Begriff mit "parallel" gleichgesetzt werden. Dies ist nicht ganz korrekt, reicht aber hier.

Im obigen Beispiel können Rechenfehler leider nicht ausgeschlossen werden.