Mathematik

Mittwoch, 8. Juni 2011

Übungsbeispiele zu Quadrat und Rechteck

Theoriefragen

Wann ist eine Paralellogramm auch ein Rechteck?

Rechenbeispiele

Gegeben ist das Quadrat mit der Seitenlänge a = 4cm. Berechne seinen Umfang und Flächeninhalt.
(Formel, Rechnung, Lösungsweg)
Gegeben ist das Rechteck mit den Seitenlängen a = 2cm und b = 5cm. Berechne seinen Umfang und Flächeninhalt.
(Formel, Rechnung, Lösungsweg)
Gegeben ist ein Quadrat mit dem Umfang u = 8cm. Berechne seine
Seitenlänge a.(Formel, Rechnung, Lösungsweg)

Montag, 6. Juni 2011

Gegenseitige Lage und Durchschnitt dreier Ebenen

Gegeben sind die folgenden drei Ebenen, deren gegenseitige Lage und Durchschnitt zu ermitteln ist.
E1:   x - 8y - 14z = 3
E2:   2x - 6y -   3z = 1
E3: -3x + 4y -   8z = 1

Die erste und einfachste Möglichkeit ist, dass alle drei (oder zumindest zwei) Ebenen zu einander parallel sind (das heißt, ihre Normalvektoren sind parallel). Dies ist offensichtlich hier nicht gegeben.

Als nächstes prüfen wir den Schnitt der Ebenen E1 und E2. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem in 2 Gleichungen und 3 Variablen. Die 2 Gleichungen besitzen 3 Variablen, eine kann frei gewählt werden (z.B. x=t)

(1)    t - 8y - 14z = 3
(2) 2t - 6y -   3z = 1

Damiz eine Variable bei der Addition wegfällt werden folgende Umformungen vorgenommen.

1,5t - 12y - 21z = 4,5
-14t + 42y + 21z = -7

Addition ergibt: -12,5t + 30y = -2,5
Daraus folgt 30y = -2,5 + 12,5t
und weiter y = (-2,5 + 12,5t) / 30.
Dies setzten wir nun in eine der obigen Gleichungen ein.

-14t + 42 * (-2,5 + 12,5t) / 30 + 21z = -7

Daraus folgt dann 21z = -7 +14t - 42 * (-2,5 + 12,5t) / 30
21z = (-7 + 14t - 105 - 525t ) / 30
21z = (-112 - 511t) / 30
z = (-112 - 511t) / 630

Wir wissen nun
x = t
y = (-2,5 + 12,5t) / 30
z = (-112 - 511t) / 630

Aus diesen Werten bilden wir nun die Schnittgerade.

g : X = (0 | -0,083 | -0,178 ) + t. (1 | 0,42 | 0,81)

Wir kennen nun die Schnittgerade der ersten beiden Ebenen.

Nun bleibt nur mehr eine beschränkte Anzahl an Fällen über.

Entweder, die dritte Gerade schneidet die anderen beiden in einem Punkt, der dann auch auf der Schnittgeraden der ersten beiden in einem Punkt (Schnitt von Gerade und Ebene) oder es gibt eine gemeinsame Schnittgerade.

Für genauere Informationen:
http://www.mevis-research.de/~albers/Veranstaltungen/DidaLinAlg06/Material/ReferaLagebeziehung.ppt
http://www.learnable.net/freeload/mathe/M308.pdf

Hinweise:       In den Dokumenten wird der Ausdruck linear abhängig verwendet. In diesem Zusammenhang kann dieser Begriff mit "parallel" gleichgesetzt werden. Dies ist nicht ganz korrekt, reicht aber hier.

Im obigen Beispiel können Rechenfehler leider nicht ausgeschlossen werden.

Samstag, 4. Juni 2011

Geraden / Ebenen - Denkaufgabe

Begründe, warum ein Tisch mit drei Beinen nicht wackeln kann, ein Tisch mit vier Beinen jedoch schon.
(Kippen ist eine vom Wackeln verschiedene Form der Tischbewegung!).

(Es handelt sich um ein Schularbeitsbeispiel aus dem 6. ORG, auf das 6 / 48 Punkte entfallen sind).

Montag, 30. Mai 2011

Nullstellen einer Funktion ermitteln

Da diese Frage immer wieder auftritt folgt hier die allgemeingültige Erklärung für eine Funktion in einer Unabhängigen.

Gegeben ist für die Erklärung die quadratische Funktion f(x) = 3x² - 6. Alle Nulstellen, also alle x-Werte für, die der f(x), also der abhängige y-Wert gleich 0 wird sollen ermittelt werden.

Vom geometrischen Standpunkt bedeutet das, dass alle Punkte, an denen der Graph die x-Achse des Koordinatensystems berührt ermittelt werden sollen.

Kochrezept

Der Funktionsterm wird gleich 0 gesetzt. Wir erhalten so eine Gleichung, deren Lösungsmenge all jene Punkte enthält, für die f(x) = 0 gilt.

Anhand unseres Beispiels: 3x² - 6 = 0

Der nächste Schritt ist das ermitteln aller Lösungen dieser Gleichung. In Abhängigkeit von der Bauform der Gleichung sind unterschiedliche Lösungswege einzuschlagen.

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0.
Wobei a = 3, b = 0, c = -6 ist.

Einsetzen in die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert die Lösungsmenge
L = {1,414 ; -1,414}.

Die Nullstellen dieser Funktion liegen also an den Punkten N = (-1,414 | 0) und O = (1,414 | 0).

Zeichnen des Graphen bestätigt die Korrektheit unserer Lösung.

Sonntag, 29. Mai 2011

LGS 2x2 - Beispiellösung

(A) Additionsverfahren (Gauss-Elimination)

Das folgende Lineare Gleichungssystem in 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ist über R² zu lösen.

14x + 15y = 43

21x - 10y = 32

Es gibt hier selbstverständlich verschiedenen Lösungsansätze. Ein geschickterer Ansatz wäre es zum Beispiel, die 2. Gleichung mit 1,5 zu multiplizieren. Das Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus.

14x + 15y = 43

31,5x - 15y = 48

______________

45,5x = 91

x = 2

Den errechneten x-Wert setzen wir nun in eine der Gleichungen aus der Angabe ein.

14x + 15y = 43

28 + 15y = 43

15y = 15

y = 1

Beide Ergebnisse liegen in der Menge der reellen Zahlen und scheinen plausibel. Die Probe erfolgt durch Einsetzten der Ergebnisse in beide Gleichungen aus der Angabe.

28 + 15 = 43

43 = 43 w.A.

42 - 10 = 32

32 = 32 w.A.

Die Probe hat für beide Gleichungen zu einer wahren Aussage geführt.

Die Lösungsmenge besteht also aus dem Tupel (2|1).

(Man könnte sich diese Lösung etwa als Schnittpunkt der beiden Geraden im zweidimensional Kartesisches Koordinatensystem vorstellen - siehe Post zur graphischen Lösung).

L = { (2|1) }

(B) Durch Substitution lösen

Zuerst wird eine der beiden Variablen, in einer der beiden Gleichungen explizit dargestellt.