Mathematik: Mai 2011

Montag, 30. Mai 2011

Nullstellen einer Funktion ermitteln

Da diese Frage immer wieder auftritt folgt hier die allgemeingültige Erklärung für eine Funktion in einer Unabhängigen.

Gegeben ist für die Erklärung die quadratische Funktion f(x) = 3x² - 6. Alle Nulstellen, also alle x-Werte für, die der f(x), also der abhängige y-Wert gleich 0 wird sollen ermittelt werden.

Vom geometrischen Standpunkt bedeutet das, dass alle Punkte, an denen der Graph die x-Achse des Koordinatensystems berührt ermittelt werden sollen.

Kochrezept

Der Funktionsterm wird gleich 0 gesetzt. Wir erhalten so eine Gleichung, deren Lösungsmenge all jene Punkte enthält, für die f(x) = 0 gilt.

Anhand unseres Beispiels: 3x² - 6 = 0

Der nächste Schritt ist das ermitteln aller Lösungen dieser Gleichung. In Abhängigkeit von der Bauform der Gleichung sind unterschiedliche Lösungswege einzuschlagen.

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0.
Wobei a = 3, b = 0, c = -6 ist.

Einsetzen in die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert die Lösungsmenge
L = {1,414 ; -1,414}.

Die Nullstellen dieser Funktion liegen also an den Punkten N = (-1,414 | 0) und O = (1,414 | 0).

Zeichnen des Graphen bestätigt die Korrektheit unserer Lösung.

Sonntag, 29. Mai 2011

LGS 2x2 - Beispiellösung

(A) Additionsverfahren (Gauss-Elimination)

Das folgende Lineare Gleichungssystem in 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ist über R² zu lösen.

14x + 15y = 43

21x - 10y = 32

Es gibt hier selbstverständlich verschiedenen Lösungsansätze. Ein geschickterer Ansatz wäre es zum Beispiel, die 2. Gleichung mit 1,5 zu multiplizieren. Das Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus.

14x + 15y = 43

31,5x - 15y = 48

______________

45,5x = 91

x = 2

Den errechneten x-Wert setzen wir nun in eine der Gleichungen aus der Angabe ein.

14x + 15y = 43

28 + 15y = 43

15y = 15

y = 1

Beide Ergebnisse liegen in der Menge der reellen Zahlen und scheinen plausibel. Die Probe erfolgt durch Einsetzten der Ergebnisse in beide Gleichungen aus der Angabe.

28 + 15 = 43

43 = 43 w.A.

42 - 10 = 32

32 = 32 w.A.

Die Probe hat für beide Gleichungen zu einer wahren Aussage geführt.

Die Lösungsmenge besteht also aus dem Tupel (2|1).

(Man könnte sich diese Lösung etwa als Schnittpunkt der beiden Geraden im zweidimensional Kartesisches Koordinatensystem vorstellen - siehe Post zur graphischen Lösung).

L = { (2|1) }

(B) Durch Substitution lösen

Zuerst wird eine der beiden Variablen, in einer der beiden Gleichungen explizit dargestellt.